Pokud nenapíšete, oč šlo/jde, nelze posoudit, který názor je správný.
(Bez dostatečných informací nelze říct, která výpověď je platná a která ne.)

Každopádně pokud máte u zaměstnavatele připraveno potvrzení o zaměstnání k vyzvednutí)
(dříve se tomu říkalo zápočtový list), nemůžete tvrdit, že Vám zaměstnavatel potvrzení zadržuje.
Zajděte si pro ně (zaměstnavatel není povinen Vám je posílat).

Zdravotní pojištění za Vás pravděpodobně neplatí nikdo.
Zaměstnavatel je platil do konce zaměstnání, stát je bude platit od začátku evidence na ÚP.

Ani sociální pojištění za Vás pravděpodobně neplatí nikdo, ale to je povinné jen pro zaměstnance a OSVČ.

Poznámka:
Poněkud mne překvapuje tvrzení úřadu práce, že máte u zaměstnavatele připravenu k podpisu
výpověď ze strany zaměstnavatele. Zaměstnanci ÚP by měli vědět, že výpověď podepisuje ten, kdo
ji dává, nikoliv její příjemce (ten pouze potvrzuje převzetí).