V případě, že zaměstnání už skončilo, jde o zadržování potvrzení o zaměstnání.
(Zaměstnavatel nesmí vydání potvrzení ničím podmiňovat.)

Pokud ale zaměstnání neskončilo (a to nevíme, dokud nenapíšete, oč přesně šlo), může
zaměstnavatel potvrzení o zaměstnání vystavit až v poslední den pracovního poměru.

K (ne)platnosti Vaší výpovědi:
Neplatné rozvázání pracovního poměru (ZP, §§ 69 až 72)

__

K zdravotnímu pojištění jsem Vám už odpověděla výše:
Do konce zaměstnání je za Vás odvádí/odváděl zaměstnavatel, od začátku evidence na ÚP je začne hradit stát.
Pokud někde byl celý měsíc nekrytý zaměstnavatelem nebo státem, musel byste pojistné uhradit Vy.

Odpovědi „berte s rezervou“, protože ještě pořád nevíme,
jak to s ukončením zaměstnání je (uvedl jste málo informací)…