K výpovědi:
Výpověď smlouvy předpokládá existenci nějaké smlouvy. (Jestli paní žila s pozůstalým ve společné domácnosti, neměla s ním asi uzavřenu nájemní smlouvu.)
Vypovedět nájemní smlouvu může majitel bytu (pronajímatel). Výpovědní lhůta činí 3 měsíce. Pozor! Změna majitele bytu není důvodem k výpovědi.

K nákladům:
Paní je samozřejmě povinna své náklady hradit. Jestli je ale hradit nebude, nezbyde než se obrátit na soud (nemáte ji jak/čím přinutit).
Odpojení energií nedoporučuji > mohla byste s tím mít problémy Vy.

Závěrem:
Poradila bych paní písemně vyzvat (nežádat, ale vyzvat), aby dluh zaplatila/doplatila a aby se z bytu vystěhovala (dala bych jí ty tři měsíce > tolik by činila výpovědní doba).
Až bude byt patřit Vám, budete mít trochu víc možností, ale vystěhování neplatiče se přesto může táhnout i několik let.